アンディマンのテクノロジー(援技力)

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数学的な美 その2

出典:オープン百科事典Wikipedia

解法の美・手法の美 

数学者は数学の証明方法において特に華麗さを評価する。 これは次のような文脈に依存する意味を持つだろう。

最小限の既知事実や付加的仮定を使用した証明

異常に簡潔な証明

驚愕的な方法により結論を演繹する証明 (例えば、一見無関係な既知定理を用いた証明)

新しい独自の洞察に基づく証明

類似の問題群を解くための一般化が可能な証明方法

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解法の美:多数の手段の中の美の発見

 華麗な証明を模索する中で、数学者はしばしばある結論を証明するための複数の独立な方法に出会うが、最初に発見された証明方法が常に最良とは限らない。 おそらく最も多数の証明方法が知られている問題の典型例は三平方の定理であり、これまでに数百もの証明が公表されている。 解法の美は、この定理の証明にもいくつか見られる。 右の図によれば、もはや文章や数式などを付与する必要は全くなく、図のみからその定理の成立がわかる。 簡潔であるとともに説明の必要無しに直感的な理解を形成する典型例であり、上で列挙した五つの華麗さのうち少なくとも最初の四つを具備する。 非常に多くの証明方法が見つかっている他の例として平方剰余の相互法則を挙げることができ、カール・フリードリヒ・ガウスによりこの定理に対して8個の異なる証明が公表された。

 逆に、論理的に正しいが膨大な計算量を要するような結果、念入りすぎる方法、大変に平凡なアプローチ、あるいは非常に強力な定理や既知の結果を多数使用する証明方法は通常は華麗とは看做されないし、醜悪とか不器用と評価されるかも知れない。

 

手法の美:モデルの美しさ

 数学を道具として利用した中での手法の美のひとつとしてヨハネス・ケプラーの多面体太陽系モデル仮説があげられよう。 ケプラーの時代には太陽系の惑星として水星・金星・地球・火星・木星・土星の6個しか知られていなかった。 ケプラーは正多面体が5種類しかないことと、6個の惑星の軌道による5個の隙間には、正多面体と球との外接・内接による関連性があるとの仮説を立てた。 結果的にはこの仮説は彼の期待を裏切ることとなったが、後の古典力学の発展に繋がった。

 

数学的な美 その1

本シリーズは7回にわたって「数学的な美」について掲載します。

 

美の概念

 出典:オープン百科事典Wikipedia

 

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 数学的な美(mathematical beauty)とは、数学に関する審美的・美学的な意識・意義・側面を様々な観点から取り上げる概念である。 数学的な美 (mathematical beauty) と数学の美 (beauty in mathematics) はしばしば同義に扱われるかもしれないが、後者が数学そのものの審美性の概念であるのに対して前者は数学を含む全ての事象の数学的側面に注目し、かつ後者を包含しうることがそれらの違いである。従って本文では前者の意味に基づいて論じる。

 多くの数学者は彼らの仕事、一般的には数学そのものから美学的な喜びを覚えている。 彼らは数学(あるいは少なくとも数学のある種の側面)を美として記述することにより、この喜びを表現している。 数学者は芸術の一形態あるいは少なくとも創造的な行動として数学を表現している。 このことはしばしば音楽や詩を対照として比較される。 数学者バートランド・ラッセルは数学的な美に関する彼の印象を次のように表現した。

 それを正しく考察された数学にあるものは真実のみではない。そこには至高の美、すなわち、彫刻が持つような冷淡で厳粛な美、人間の弱い性質が惹き付けられることなく、絵画や音楽の華麗な罠なしに、依然として崇高で純粋な、そして偉大な芸術のみが見せることができる強固な完成度の有能性を備えている。真の歓喜の精神は、高揚、人類以上のものであるという感覚、最も卓越した優越性の試金石であり、詩がそうであるように確実に数学において見つかるものだ。

  ハンガリーの数学者ポール・エルデシュは数学の言語での表現不可能性(英語版)に関する彼の見解を次のような言葉で表現した。

「数は何故美しいのか。それはベートーベンの交響曲第九番がなぜ美しいのかと訊ねるようなものだ。君がその答を知らないのであれば、他の誰も答えることはできない。私は数が美しいということを知っている。もし数が美しくないのなら、美しいものなど何も無い。」

 

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